2019-01-06 5 分钟读完 (大约 759 个字)

BZOJ4543 Hotel加强版

题面

$\text{BZOJ}$间接权限题

洛谷的弱化版

题解

三点距离两两相等要满足以下条件：

有一个相同的$\text{LCA}$

所以如果存在一个点，使得另外两个点在它子树中，距离为$d$，且$\text{LCA}$距这个点为$d$，

那么这三个点就距离两两相等。

设$f[i][j]$表示以$i$为根的子树中距$i$为$j$的点的数量

$g[i][j]$表示以$i$为根的子树中，两个点到$LCA$的距离为$d$，并且他们的$LCA$到$i$的距离为$d−j$的点对数。

看到合并时的转移：
$$
ans\text{+=}g[i][0] \
ans\text{+=}g[i][j]*f[son][j-1] \
f[i][j]=\sum f[son][j-1] \
g[i][j]=\sum g[son][j+1]
$$
复杂度为$\text{O}(n^2)$

而转移方程下面两个柿子
$$
f[i][j]=\sum f[son][j-1] \
g[i][j]=\sum g[son][j+1]
$$
如果我们选择一个转移代价最高的儿子直接继承过来的话，复杂度就会大大降低

而转移代价最高的儿子显然就是长链剖分后那个点的重儿子

那么用指针描述就是：
$$
f[i]=f[heavy[i]] - 1,\; g[i] = g[heavy[i]] + 1
$$
这样可以快速继承。

于是我们就将整棵树进行长链剖分，钦定从重儿子转移，其他儿子重新计算

于是从重儿子转移$O(1)$，从轻儿子转移$O($链长$)$

总时间复杂度$O(n+\sum$链长$)=O(n)$

同时因为使用指针，所以~~常数小~~出现了一些玄学问题

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define RG register

inline int read()
{
	int data = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch != '-' && (ch < '0' || ch > '9')) ch = getchar();
	if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
	while(ch >= '0' && ch <= '9') data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return data * w;
}

const int maxn(100010);
struct edge { int next, to; } e[maxn << 1];
int head[maxn], e_num, n;
inline void add_edge(int from, int to)
{
	e[++e_num] = (edge) {head[from], to};
	head[from] = e_num;
}

int dep[maxn], heavy[maxn], maxdep[maxn];
void dfs(int x, int fa)
{
	// maxdep[x] = dep[x] = dep[fa] + 1;
	for(RG int i = head[x]; i; i = e[i].next)
	{
		int to = e[i].to; if(to == fa) continue;
		dfs(to, x); maxdep[x] = std::max(maxdep[x], maxdep[to]);
		if(maxdep[to] > maxdep[heavy[x]]) heavy[x] = to;
	}
	maxdep[x] = maxdep[heavy[x]] + 1;
	// 玄学问题，将第28行注释去掉并注释掉上一行，交到BZOJ就会RE
}

long long *f[maxn], *g[maxn], pool[maxn << 2], *id = pool, ans;
void calc(int x, int fa)
{
	if(heavy[x]) f[heavy[x]] = f[x] + 1,
		g[heavy[x]] = g[x] - 1, calc(heavy[x], x);
	f[x][0] = 1, ans += g[x][0];
	for(RG int i = head[x]; i; i = e[i].next)
	{
		int to = e[i].to; if(to == fa || to == heavy[x]) continue;
		f[to] = id; id += maxdep[to] << 1; g[to] = id; id += maxdep[to] << 1;
		calc(to, x);
		for(RG int j = 0; j < maxdep[to]; j++)
		{
			if(j) ans += f[x][j - 1] * g[to][j];
			ans += g[x][j + 1] * f[to][j];
		}
		for(RG int j = 0; j < maxdep[to]; j++)
		{
			g[x][j + 1] += f[x][j + 1] * f[to][j];
			if(j) g[x][j - 1] += g[to][j];
			f[x][j + 1] += f[to][j];
		}
	}
}

int main()
{
	n = read();
	for(RG int i = 1, a, b; i < n; i++)
		a = read(), b = read(), add_edge(a, b), add_edge(b, a);
	dfs(1, 0); f[1] = id; id += maxdep[1] << 1; g[1] = id; id += maxdep[1] << 1;
	calc(1, 0); printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

DP --- 树形dp, Data Structure --- 长链剖分, OJ --- BZOJ

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